Operaciones Con Numeros Complejos


Si bien esta no es una página de matemáticas, (muy lejos de serlo) los números complejos son una herramienta fundametal para el análisis y cálculo de circuitos electrónicos en corriente alterna, cálculo de impedancias, ley de ohm en alterna y circuitos RLC. Por eso hago esta pequeña reseña de como operar con números complejos

Descripción
El número complejo es una expresión del tipo Z = a + bi, donde a y b son números reales. Todo número complejo tiene dos partes, llamadas: parte real y parte imaginaria dadas por a y b respectivamente.  Se define i como unidad imaginaria y cumple con la condición de que su cuadrado = -1.

 

 

 

 

Suma de números complejos

Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las imaginarias por otro, de la siguiete manera:

Resta de números complejos

Para restar números complejos se restan las partes reales por un lado y las imaginarias por otro, de la siguiente manera:

Propiedades de la Suma y la Resta
Asociativa       Z + (U + W) = (Z + U) + W
Conmutativa  Z + W = W + Z

Multiplicacion de números complejos

Sean Z y U números complejos se define la multiplicacion como:

Propiedades
Conmutativa y asociativa        Z . U = U. Z    y    Z . (U.W) = (Z.U) . W
Distributiva     Z . (W+U) = Z . W + Z . U    y    (Z+W) . U = Z . U + W . U

Conjugado

Dado un número complejo, obtenemos su conjugado cambiando el signo de la parte imaginaria:

Módulo de Z

Si   Z = a+bi  es un número complejo, el módulo de Z es el número real:

División de números complejos

Sea Z y W dos números complejos, primero se multiplica Z por el conjugado de W y este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de W

Representacion Polar

Podemos representar un numero complejo por medio de un vector (Z) desde el punto de origen de a y b y un ángulo (argumento) formado  con el eje real:

Pasaje de Polar a rectangular

Si conocemos una representacion de Z en forma polar aplicando trigonometria tendremos:

Por lo tanto operando:

Multiplicación en forma polar

Dado Z y W en forma polar la multiplicación entre ambos es un numero complejo cuyo módulo es el producto de los módulos Z y W, y el argumento es igual a la suma de los argumentos de Z y W.

División en forma polar

Dado Z y W en forma polar la división entre ambos es un numero complejo cuyo módulo es el cociente entre Z y W,  y el argumento es igual a la resta de los argumentos de Z y W.

Potencia de números complejos

Siendo Z un complejo en forma polar y n un número entero positivo, se puede calcular Z a la n aplicando la siguiente fórmula:

Nota: En caso de tener un complejo en forma rectangular se debe pasar a forma polar.

Raices de un número complejo

Todo número complejo tiene n raíces enésimas, por lo tanto dado un número complejo Z en forma polar, para hallar las raíces usaremos la siguiente fórmula:

Nota: En caso de tener un complejo en forma rectangular se debe pasar a forma polar.

Para uso práctico en la seccion Tablas estan simplificadas todas las fórmulas para operar con números complejos, puedes verla y descargarla desde aqui.


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